【三大计算】求极限

• $\lim_{x \to \infty} (0 \cdot x) = 0$，其中$(0 \cdot x)$中的 0 是数字 0
• 而$\lim_{x \to 0}(x \cdot \ln x) = 0$，其中$x$是极限 0(无穷小量)，整个极限为“$0 \cdot \infty$”未定型，需要额外计算

1. 两项相加减时，为什么“一个存在，一个无穷大”可以拆分？

   若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=\infty$，
   则 $\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)=A+\infty=\infty$

   这实际上不是标准的极限"拆分"，而是利用了以下性质：

   $$ 有限值 ± 无穷大 = ± 无穷大 $$

   例如，若 $\lim f(x) = 5$ 且 $\lim g(x) = \infty$，则 $\lim[f(x) + g(x)] = \infty$

   这不违背原理，而是对无穷大情况的特殊处理。

   所以，两项相加减时，“一个存在，一个无穷大”就可以拆分

2. 两项相乘除时，为什么“有一个非零存在”就可以拆分？

   在乘除法的极限运算中，“有一个非零存在"可以拆分是因为存在以下特殊情况处理规则：

   • 乘法情况

     1. 一个极限为非零有限值，另一个为不存在

        若 $\lim f(x)=A \neq 0$，
        则 $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot\lim g(x)$

   • 除法情况

     1. 分子极限为有限值，分母极限为不存在

        若 $\lim f(x) = A$（有限值），
        则 $\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{\lim g(x)}$

        • 注：分子极限存在时特别包括$A=0$

     2. 分子极限为不存在，分母极限为非零有限值

        若 $\lim g(x) = B \neq 0$，
        则 $\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{B}$

   所以，两项相乘除时，“有一个非零存在”就可以拆分

考研中常见的区分左右极限的情况：

1. $$ \lim_{x \to \infty} e^x = \begin{cases} \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \\ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0. \end{cases} $$
2. $$ \lim_{x \to \infty} \arctan x = \begin{cases} \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \\ \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}. \end{cases} $$
3. $$ \lim_{x \to 0} |x| = \begin{cases} \lim_{x \to 0^+} x, \\ \lim_{x \to 0^-} (-x). \end{cases} $$
4. $$ F(x) = \begin{cases} f(x) & x \ge x_0 \\ g(x) & x < x_0 \end{cases} \hspace{10pt} [f(x) \neq g(x)] $$ $$ \lim_{x \to x_0} F(x) = \begin{cases} \lim_{x \to x_0^+} f(x), \\ \lim_{x \to x_0^-} g(x). \end{cases} $$

极限不存在包括：

1. 极限为无穷大
2. 左极限和右极限不相等
3. 极限震荡不存在

首先要知道，等价无穷小是泰勒公式展开的一种特殊情况。 然后我们先写出常见的 8 种等价无穷小及其对应的泰勒公式展开式：

1. $sin○ \sim tan○ \sim arcsin○ \sim arctan○ \sim e^{○}-1 \sim ln(1+○) \sim ○$

   1. $sinx =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
   2. $tanx = x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
   3. $arcsinx = x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$
   4. $arctanx = x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
   5. $e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
   6. $ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

2. $a^{○}-1 \sim ○lna$

   1. $a^x = 1+xlna+\frac{(lna)^2}{2!}x^2+\frac{(lna)^3}{3!}x^3+o(x^3)$

3. $1-cos○ \sim \frac{1}{2}○^2$

   1. $cosx = 1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$

4. $(1+○)^{a} -1 \sim a○$

   1. $(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}+o(x^n)$

5. $○-ln(1+○) \sim \frac{1}{2}○^2$

   1. $ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
   

6. $tan○-○ \sim ○-arctan○ \sim \frac{1}{3}○^3$

7. $○-sin○ \sim arcsin○-○ \sim \frac{1}{6}○^3$

8. $tan○-sin○ \sim arcsin○-arctan○ \sim \frac{1}{2}○^3$

1. 等价无穷小：乘除可以直接替换，加减可以直接替换（但是主要项不能相消为 0）【最好使用泰勒验证一遍结果】，这步必须写
2. 快速变量代换：必须写$令x=t…，则t=…x。当x \to …时，t \to 0$