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  1. 学习思考/

【三大计算】求极限

··305 字·2 分钟
Study 数二
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三大计算 - 系列文章
§ : 本文

基础
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1. 高中常用数列公式
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  1. 等差数列前 $n$ 项和: $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
  2. 等比数列前 $n$ 项和: $a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
  3. 等比数列前 $n$ 项和的极限 $(|q|<1)$: $$\lim_{x \to 0}(a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1})=\lim_{x \to 0}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}\quad(|q|<1)$$

2. 无穷小量
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若 $\lim_{x \to x_0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是 $x \to x_0$ 时的无穷小。

3. 涉及无穷大、无穷小的运算
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涉及无穷大，仅“无穷大乘无穷大”确定为无穷大； 其他情况正常算

  • $\lim_{x \to \infty} (0 \cdot x) = 0$，其中$(0 \cdot x)$中的 0 是数字 0
  • 而$\lim_{x \to 0}(x \cdot \ln x) = 0$，其中$x$是极限 0(无穷小量)，整个极限为“$0 \cdot \infty$”未定型，需要额外计算

4. 解极限第一步是“判断极限类型”
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  1. 7 种未定型：
    • $\frac{0}{0}$
    • $\frac{\infty}{\infty}$
    • $\infty - \infty$
    • $0 \cdot \infty$
    • $0^\infty$
    • $0^0$
    • $\infty^0$
  2. 已定式
    • 代入得结果

5. 极限的四则运算
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当$x \to x_0$时，若$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$，则可正常四则运算

6. 极限拆分
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理论：两个极限都存在才能拆分

实际解题极限可拆：

  1. 两项相加减
    • 都存在
    • 一个存在，一个无穷大
  2. 两项相乘除
    • 都存在
    • 有一个非零存在

  1. 两项相加减时，为什么“一个存在，一个无穷大”可以拆分？

    若 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=\infty$，
    则 $\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)=A+\infty=\infty$

    这实际上不是标准的极限"拆分"，而是利用了以下性质：

    $$ 有限值 ± 无穷大 = ± 无穷大 $$

    例如，若 $\lim f(x) = 5$ 且 $\lim g(x) = \infty$，则 $\lim[f(x) + g(x)] = \infty$

    这不违背原理，而是对无穷大情况的特殊处理。

    所以，两项相加减时，“一个存在，一个无穷大”就可以拆分

  2. 两项相乘除时，为什么“有一个非零存在”就可以拆分？

    在乘除法的极限运算中，“有一个非零存在"可以拆分是因为存在以下特殊情况处理规则：

    • 乘法情况

      1. 一个极限为非零有限值，另一个为不存在

        若 $\lim f(x)=A \neq 0$，
        则 $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A\cdot\lim g(x)$

    • 除法情况

      1. 分子极限为有限值，分母极限为不存在

        若 $\lim f(x) = A$（有限值），
        则 $\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{\lim g(x)}$

        • 注：分子极限存在时特别包括$A=0$

      2. 分子极限为不存在，分母极限为非零有限值

        若 $\lim g(x) = B \neq 0$，
        则 $\lim\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{B}$

    所以，两项相乘除时，“有一个非零存在”就可以拆分

7. 极限存在充要条件
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极限存在充要条件：“左右极限存在且相等”

考研中常见的区分左右极限的情况：

  1. $$ \lim_{x \to \infty} e^x = \begin{cases} \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \\ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0. \end{cases} $$
  2. $$ \lim_{x \to \infty} \arctan x = \begin{cases} \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \\ \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}. \end{cases} $$
  3. $$ \lim_{x \to 0} |x| = \begin{cases} \lim_{x \to 0^+} x, \\ \lim_{x \to 0^-} (-x). \end{cases} $$
  4. $$ F(x) = \begin{cases} f(x) & x \ge x_0 \\ g(x) & x < x_0 \end{cases} \hspace{10pt} [f(x) \neq g(x)] $$ $$ \lim_{x \to x_0} F(x) = \begin{cases} \lim_{x \to x_0^+} f(x), \\ \lim_{x \to x_0^-} g(x). \end{cases} $$

8. 极限不存在与极限无穷大的关系
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“极限不存在包括极限无穷大的情况”

极限不存在包括：

  1. 极限为无穷大
  2. 左极限和右极限不相等
  3. 极限震荡不存在
xiadengma
作者
xiadengma
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